VALOR TEÓRICO
VALOR PRÁCTICO
Hora media según el meridiano de Greenwich (-2h), 12:03:45
domingo, 26 de octubre de 2014
miércoles, 1 de octubre de 2014
Tarea grupal 2: ERATÓSTENES. LA MEDIDA DEL RADIO DE LA TIERRA.
Hemos iniciado un proyecto cuyo objetivo era obtener el radio de la Tierra utilizando el método que en su día utilizó Eratóstenes para conseguir dicho dato.
Para ello, el día 25/09/2014, desde las 12:30 (L.T) a las 14:30 (L.T) nos dividimos en cinco grupos y tomamos medidas de la sombra que proyectaba un gnomon de 77'76cm de altura cada cinco minutos.
Para ello colocamos el gnomon vertical en una superficie completamente horizontal, de modo que el gnomon formara un ángulo de 90º con respecto a la superficie en la que se apoyaba. Pusimos bajo el gnomon papel kraft (orientado en dirección este-oeste, para evitar que la sombra saliera del papel kraft) y nos aseguramos de marcar la posición del gnomon en el papel kraft con un rotulador debido a que de esta forma notaríamos si el gnomon se moviera de lugar y lo pondríamos de nuevo en su sitio. Así podíamos obtener unos datos no alterados por errores de esa naturaleza. Cada cinco minutos (utilizamos todos un mismo reloj para saber cuándo marcar la medida) marcábamos en el papel kraft el punto en el que terminaba la sombra del gnomon y marcábamos en ese punto la hora que era.
Alrededor de las 14:30 (L.T), ya habíamos terminado de tomar medidas.
A continuación mostramos unas imágenes tomadas el día 25/09/2014 durante la toma de medidas de sombras del gnomon:
Primera medida tomada de la jornada a las 12:30.
Gnomon y sombra reflejada.
El siguiente paso que tomamos fue medir la altura del gnomon y hallar cuál de los datos de las sombras que habíamos marcado correspondía con la sombra mínima. Para ello, trazamos una mediatriz en la zona de las sombras mínimas que habíamos marcado y el punto donde cortaba la mediatriz a esa zona era el punto que marcaba la medida de la sombra mínima. A la medida de la sombra del gnomon debimos restarle el radio del gnomon para que la medida fuera real, porque el radio del gnomon también se reflejaba en la sombra y su medida no era despreciable. En nuestro grupo obtuvimos una altura del gnomon de 78'3 cm y una longitud de la sombra del gnomon de 71'65 cm, pero los datos que vamos a utilizar para la medida del radio de la Tierra son el promedio de las medidas que obtuvieron los cinco grupos.
Otro dato que precisamos para el cálculo del radio de la Tierra es la distancia del Colegio Base hasta el ecuador. Para conseguir este dato podemos utilizar la distancia lineal entre el Colegio Base y el ecuador hemos utilizado esta página. También se puede realizar el cálculo con la herramienta Google Earth.
Hemos obtenido que la distancia lineal hasta el ecuador desde el Colegio Base es de 4452'08km.
Para calcular el radio de la Tierra como lo hizo Eratóstenes necesitamos los datos de un gnomon recogidos el mismo día que nosotros (25/09/2014) de otro punto preferiblemente situado en el mismo meridiano y a más de 400km de distancia del Colegio Base en línea recta. Hemos conseguido datos de dos colegios, uno situado en Portugal y otro situado en Brasil, de modo que realizaremos los cálculos con los datos de ambos.
ESPAÑA-PORTUGAL
Datos de nuestro colegio en España
La distancia lineal al ecuador del Colegio Base es como hemos calculado antes de 4452'08km
Datos del colegio en Portugal
La distancia lineal al ecuador del colegio de Portugal es de 4118'17km
Sabiendo las dos distancias al ecuador de estos colegios, al restarlas obtendremos la distancia lineal entre ambos colegios suponiendo que estos se encontraran en el mismo meridiano.
Haciendo que la longitud coincida en el punto de partida y en el final (simulando que ambos colegios están en el mismo meridiano) y manteniendo las latitudes diferentes de las coordenadas de los dos colegios, conseguimos directamente también el dato de distancia lineal de 333'91km.
Es significativo el hecho de que la distancia sea menor a 400km debido a que el dato del radio de la Tierra que obtengamos tras realizar los cálculos puede no ser tan fiable.
Los datos que necesitamos obtener ahora son los ángulos de incidencia del sol en los gnomones para conseguir el ángulo que se forma dentro de la Tierra al cortarse las prolongaciones de los gnomones de Portugal y España.
GNOMON DE COLEGIO BASE
El ángulo que se forma en el interior de la Tierra al cortarse las prolongaciones de los dos gnomones es la diferencia entre el ángulo de incidencia de los rayos solares en el gnomon de Portugal y el ángulo de incidencia de los rayos solares en el gnomon de España. La razón de que esto sea así es la siguiente (aparece explicada en el gráfico):
Este gráfico muestra la demostración de que la diferencia de los ángulos de incidencia de los rayos solares de los gnomones, resulta en el ángulo que se forma en el centro de la Tierra con el corte de las prolongaciones de los gnomones.
Tras esta demostración (representada en el gráfico) podemos asegurar que:
Al hacer la diferencia de los ángulos obtenemos como solución 1'5º, una medida de ángulo demasiado pequeña, que quizá nos puede llevar a errores cuando al proseguir con los cálculos para obtener el dato del radio de la Tierra. El hecho de que salga una medida pequeña no se probablemente no se deba a un error en la ejecución de las operaciones para llegar a ella, sino más bien a que la distancia lineal (suponiendo que ambos colegios estuvieran situados en el mismo meridiano) entre los colegios de Portugal y el nuestro de España, de entrada era menor a 400km (una distancia demasiado pequeña como para poder ejercutar estos cálculos realizando la menor medida de errores posible).
Sabiendo el ángulo que forman los dos gnomones al cortarse sus prolongaciones en el centro de la Tierra (1'5º) y sabiendo también la distancia lineal entre los dos gnomones (333'91 km) podemos mediante una regla de tres averiguar la longitud de la circunferencia que rodea la Tierra (su perímetro, Lc).
Habiendo obtenido ya el dato de perímetro de la Tierra, ya sólo necesitamos realizar una ecuación en la que igualemos el dato de longitud de circunferencia terrestre que hemos deducido (80138'4 km) con la fórmula con la que se obtiene la longitud de toda circunferencia: 2 ·π· r
El dato real del radio de la Tierra es de aproximadamente 6371km, y como es posible observar, el resultado obtenido al realizar nuestros cálculos es un valor del radio de la Tierra extremadamente desviado de la realidad, pues podemos ver que el radio que hemos extraído como resultado es aproximadamente el doble de la medida real del radio de la Tierra. Esta desviación tan significativa, debe haberse debido más que a un error de aproximación o de otra naturaleza durante la realización de los cálculos, ha debido de tener su origen en el hecho de que hemos trabajado con un ángulo en la Tierra extremadamente pequeño (1'5º) y una distancia lineal que en relación con el perímetro real de la Tierra era excesivamente pequeña (333'91km) o en que quizá los datos proporcionados por el colegio portugués no eran del todo acertados debido a algún error durante la experimentación de ellos o durante el cálculo del promedio de las medidas que ellos tomaron.
A continuación vamos a proseguir obteniendo el radio de la Tierra partiendo de los datos proporcionados por el colegio brasileño a nosotros.
ESPAÑA- BRASIL
Datos de nuestro colegio en España
La distancia lineal al ecuador del Colegio Base es como hemos calculado antes de 4452'08km
Datos del colegio de Brasil tomados el 25/05/2014 (mismo día que nosotros)
La distancia lineal al ecuador del colegio de Brasil es de 2551'85km (este dato nos lo ha proporcionado el colegio)
También podemos averiguar la distancia lineal al ecuador de este colegio al introducir las coordenadas iniciales y finales en la página mostrada previamente. De todos modos, utilizaremos el dato que nos ha proporcionado el colegio para los cálculos.
Haciendo coincidir las longitudes de las coordenadas de ambos colegios e introduciendo las latitudes respectivas de los colegios en la página, logramos una distancia lineal equivalente a que ambos colegios estuvieran situados en un mismo meridiano.
El siguiente paso a tomar es calcular los ángulos de incidencia de los rayos solares en el momento de sombra mínima en cada de uno de los gnomones, el de nuestro colegio y el de Brasil.
GNOMON DE COLEGIO BASE
GNOMON DE COLEGIO DE BRASIL
El ángulo que se forma en el interior de la Tierra al cortarse la prolongación del gnomon del colegio de Brasil con la prolongación hacia el interior del gnomon del colegio de España es el resultado de sumar los ángulos de incidencia de los rayos solares sobre los gnomones de ambos colegios. La razón por la que esta equivalencia se da, está explicada en el gráfico presentado a continuación:
El ángulo que se forma en el interior de la Tierra es la suma de los ángulos que forman los rayos solares al incidir sobre los gnomones.
Habiendo averiguado previamente el ángulo que se forma en el interior de la Tierra al cortarse las prolongaciones de los gnomones de los respectivos colegios y la distancia lineal entre ellos, podemos averiguar con una regla de tres la longitud de la circunferencia que rodea la Tierra, es decir su perímetro.
Una vez ya hemos obtenido el perímetro de la Tierra, averiguar el radio se puede hacer creando una ecuación en la que igualamos el dato de la longitud de la circunferencia obtenida (41199'6km) con la fórmula para obtener cualquier longitud de circunferencia.
Hemos obtenido un dato del radio muy próximo al real, lo cual nos garantiza que las medidas del gnomon y la sombra que hicimos en nuestro colegio eran correctas, y sabiendo esto podemos suponer, en base a estos resultados, que la razón porque obtenemos un radio de la Tierra tan desplazado de la realidad en la medición con los datos de nuestro colegio y el de Portugal es muy probablemente que el colegio portugués cometió algún error de medición al medir el gnomon o su sombra. Cabe pensar que el hecho de que la distancia lineal entre nuestro gnomon y el del colegio portugués sea menor que 400km no es la única razón por la que obtenemos un dato tan desviado del radio la Tierra, pues esto sólo no es una razón suficientemente significativa.
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