En esta actividad trataremos de extraer el valor de g (la aceleración gravitatoria que afecta a los lanzamientos verticales), a partir de los datos experimentales de la prueba de caída libre mostrada en el siguiente vídeo:
Se usaron para la extracción de los datos en una caída libre, dos bolas de acero de distinto tamaño, pero debido a que la masa no influye en la velocidad de caída y el espacio recorrido, sino que lo que tiene influencia es la gravedad, el rozamiento y resistencia del aire (estos dos últimos factores los vamos a obviar en la realización de esta actividad, considerando que su efecto en la velocidad de la bola no es apenas considerable), con averiguar algunos datos de espacio respecto a tiempo de uno de los móviles en caída libre.
Conseguir este valor (-9'8m/s^2) puede resultar una ardua tarea si tenemos en cuenta el hecho de que los errores experimentales cometidos son inevitables y se trata de una actividad en la que la precisión tiene una gran importancia muy significativa.
El primer paso que hemos de tomar es realizar una representación gráfica de las gráficas y-t y v-t de este movimiento. El vídeo nos muestra el espacio recorrido por la bola tomando como sistema de referencia (origen) el punto en el que la caída libre tiene su comienzo, pero los valores que emplearemos para la representación van a ser las posiciones del móvil (en la gráfica y-t) tomando como sistema de referencia el suelo, de modo que la pendiente nos salga negativa y la función no lineal (parábola) que obtengamos decrezca conforme se acerca al suelo, que conforma el sistema de referencia. Si utilizáramos los valores que nos aporta el vídeo, obtendríamos una pendiente de la gráfica v-t positiva, es decir una aceleración positiva, y la gravedad de la Tierra que queremos calcular es una aceleración negativa. Realizar este cambio en el sistema de referencia con el que exponemos los datos no es preciso, pero el resultado es más claro visualmente, y para hacerlo sólo debemos tomar la posición inicial como 1'13m que es la posición final según los datos aportados por el vídeo e irle restando a esta posición las posiciones consecutivas de los datos aportados por el vídeo dividido en frames.
Ésta es la tabla de valores y-t para este movimiento.
Con los datos del espacio recorrido con respecto al tiempo, podemos calcular la velocidad del móvil a los 0'08s, 0'16s, 0,24s, 0,32s, 0,4s y 0'48s, conociendo la definición de velocidad, que es la variación de espacio recorrido por un móvil partido del tiempo que emplea en cubrir ese ese espacio el móvil. Aplicando esto a una fórmula, sabemos que:
De modo que podemos averiguar la velocidad media en cada intervalo de tiempo:
Éstas son la tabla v-t y la gráfica v-t:
NUESTRA HIPÓTESIS INICIAL
Después de haber trabajado con problemas de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, nos fue fácil deducir que este movimiento concretamente (lanzamiento vertical en caída libre) se representa en la gráfica como una línea recta cuya pendiente es la aceleración (gravedad).
En la gráfica y-t, como hemos visto antes, la función es una parábola, dado que cada vez que aumenta el tiempo, disminuye el espacio. En este caso, la aceleración es constante, debido a que la aceleración que influye en la velocidad instantánea del móvil se trata de la gravedad (aceleración negativa de -9'8m/s^2).
La bola de acero describe una trayectoria rectilínea al caer, pero cómo era esperado, al tratarse de un MRUA con la gravedad como aceleración negativa, en la gráfica y-t observamos una función no lineal (parábola) y en la gráfica v-t observamos una función lineal (recta) con una pendiente negativa que corresponde con la aceleración constante propia del MRUA que es a su vez el valor de la gravedad que influye en la velocidad de la bola de acero al caer.
La ecuación de la función señalada en color naranja, que representa la línea de tendencia, tiene como pendiente (coeficiente de x) -9'515. Si tenemos en cuenta que en las gráficas v-t la pendiente corresponde con la aceleración, podemos ver que hemos conseguido como aceleración -9'515m/s^2 que es un número muy próximo a la aceleración gravitacional que conocemos, que es -9'8m/s^2.
Es probable que la diferencia entre el valor real de la gravedad y el que hemos obtenido experimentalmente se deba a que no hemos tomado como factores influyentes la resistencia y rozamiento del aire y al hecho de que para la realización de la gráfica v-t hemos tomado como valores de velocidad las velocidades medias de intervalos de tiempo que quizá eran demasiado amplios como para obtener una gráfica resultante próxima a la que hubiéramos obtenido si hubiéramos contado con la precisión necesaria como para saber en qué posición se encontraba la bola de acero en cada milésima de segundo.
Introduciendo
tres puntos de nuestra gráfica v-t para este movimiento en esta
aplicación vemos
que el error de estos datos es mínimo, lo que implica que la
aproximación a los datos reales ha sido realizada con éxito.
La razón por la que la pendiente corresponde con la aceleración del móvil en una gráfica v-t se debe a que la pendiente (m) es igual al valor de y partido por el valor de x, es decir:
m= y/s
Y la ecuación de dimensiones de la pendiente una función que relaciona velocidad (m/s) con tiempo (s) es:
De modo que la pendiente es, como queríamos demostrar, igual a la aceleración, que se mide en espacio partido de tiempo al cuadrado.
Ésta es la hoja de cálculo en la que se encuentran las gráficas de este lanzamiento vertical de caída libre realizadas para el modelo experimental.
El siguiente paso sería comparar los datos experimentales obtenidos con los datos del modelo teórico que podemos obtener con las siguientes ecuaciones:
Es notable que falta una parte de la ecuación de movimiento de lanzamientos verticales, pero concretamente en este lanzamiento de caída libre la velocidad inicial es 0m/s y eso hace que la primera parte de la ecuación desaparezca, facilitando el cálculo de la altura a la que se encuentra la bola de acero en cada momento (tiempo).
En estas ecuaciones tomaremos g con el valor de gravedad que conocemos que es 9'8m/s^2 y el tiempo inicial lo tomaremos como 0s en la ecuación de movimiento.
Los datos de espacio recorrido en cada tiempo son:
Éstas son la tabla y gráfica y-t del modelo teórico comparadas con la tabla y gráfica y-t del modelo experimental de la caída de la bola de acero:
Para realizar la tabla y gráfica del modelo teórico ha sido necesario cambiar el sistema de referencia también al suelo para obtener una pendiente y aceleración negativa como la que tiene el modelo experimental.
La diferencia entre los datos experimentales y los teóricos es mínima, y ello lo podemos observar en el dato final de tiempo que cuando corresponde a 0m en los valores experimentales, en los teóricos corresponde con 0,00004, lo que concurre en un error relativo de 0'01%, que es un error mínimo.
Los datos teóricos de velocidad media de cada intervalo de tiempo son estos:
Éstas son la tabla y gráfica v-t del modelo teórico comparadas con la tabla y gráfica v-t del modelo experimental de la caída de la bola de acero:
Obsérvese que la pendiente de esta función (indicada en su ecuación como coeficiente de x) coincide exactamente con la aceleración negativa gravitatoria constante que hay en la Tierra, debido a que en las gráficas v-t la pendiente coincide con la aceleración.
En el caso de los valores teóricos de velocidad con respecto a tiempo comparados con los experimentales, si cogemos la velocidad final teórica y experimental y calculamos el error relativo, vemos que es de un 0'0007% lo cual es un error ínfimo también (al igual que ocurría con los datos de posición respecto a tiempo teóricos y experimentales).
